Alexander Jost erhielt seine erste musikalische Ausbildung bei den Wiener Sängerknaben. Bereits parallel zur Ausbildung am Musikgymnasium Wien studierte er am Prayner Konservatorium unter Prof. Stalze Klavier. Seine Chorleiterkenntnisse erwarb er bei Univ.-Prof. Herbert Böck. Als Sänger hat Jost in zahlreichen Chören mitgewirkt, zudem war er sechs Jahre lang Mitarbeiter des Musikinstituts für objektivierte Musikausbildung. Seit 2012 ist Jost an der Schauspielakademie Elfriede Ott als Korrepetitor sowie regelmäßig als Musiker für das Empire Studio tätig. Alexander Jost leitet mehrere Chöre in Wien und im Weinviertel, so hat er etwa im Herbst 2017 die Leitung der neu gegründeten Karlsknaben übernommen. Seit Herbst 2013 ist Jost Volksschul-Kapellmeister bei den Wiener Sängerknaben.
Als Komponist schuf er kleine Chorwerke vor allem für den Chorus Viennensis. Für den Chor setzte er sich außerdem als Sänger, Korrepetitor, Arrangeur und Assistent seiner Vorgänger ein.
